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向你介绍我是谁
大家好，我是易荣敏，来自
温州市平阳县水头镇第一小学，
朱乐平名师工作站第七组的成
员，期待能在“一课研究”微信平台上与您相遇！
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本期内容有哪些
1. 听一听：审视概念教学背后的教育
价值观
2. 读一读：最大公因数本体性知识解读
3. 看一看：Stein算法
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轻轻松松听听书
以上听书栏目内容节选自陈洪杰
《审视概念教学背后的教育价值观》》一书
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坚持阅读8分钟
最大公因数本体性知识解读
作为“数论”知识的初步，公因数和最大公因数一课，一直是小学数学教材中的重要内容。那么，我们是仅仅只要知道其概念定义，还是要学会用相关知识解决简单的实际问题？是掌握它的正确求法，还是需要关注它的学习价值？种种问题，需要我们先厘清这一概念的本体性知识，更进一步明确它的本质属性；通过追溯概念的本源，以更好地组织教学，让学生经历概念的抽象及形成过程。
当最大公因数遇上概念与本质属性
小学版：
几个数公有的因数叫做它们的公因数。
公因数中最大的一个叫做最大公因数。
中学版：
公因数,指两个或两个以上的整数，如果有一个整数是它们共同的因数，那么这个数就叫做它们的公因数，也可以说成“公约数”。
最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有因数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b）。
高等数论版：
如果a和b都是整数，而且存在某个整数c，使得n = cd，记作d|n（读作d整除n）。如果d|a且d|b，我们就称d是a和b的一个公因数。
如果a和b都是不全为零的整数，我们把a、b公因数中最大一个称为a，b的最大公约数。根据裴蜀定理，对每一对整数a，b，都有一个公因数d，使得d = ax+by，其中x和y是某些整数，并且a和b的每一个公因数都能整除这个d。于是d的绝对值叫做最大公因数。
（1）公因数一定是最大公因数的因数。
（2）如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两数的最大公约数。
（3）如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公约数是1。
（4）两个整数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。
（5）两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
（6）对任意的若干个整数，1总是它们的公因数。
（7）若干个数乘相同的数m(m0)后的最大公因数等于它们的最大公约数乘m。
部分本质属性与公倍数、最小公倍数相关联，因此不一一赘述。
当最大公因数遇上教学困惑
“短除法”教or不教？按照新课标要求，教材在编排求两个数的公因数等内容时，没有把“用短除法分解质因数”的方法作为求最大公因数的基本方法，而是用列举的方法。而这也成为教学中的一大困惑。那么教材这样处理是否有道理呢？
其实这一方法不仅在解决实际问题中用途广泛，而且在数学中也是重要的。简单明了，几乎所有的学生都能够理解。使用这个方法是基于学生对公因数和最大公因数的理解的自然方法，既有利于对概念本身的理解，又简单易学。
而短除法是基于分解质因数，学生理解起来比较困难，有的学生只好去机械记忆形式，结果反而不利于概念的理解。另外，短除法虽然也有用，但它不是核心的、特别重要的数学知识，而最大公因数的学习，主要用于约分，实际上，学生在约分时，往往采用口算，几乎不用短除法，而短除法就失去其不可或缺的作用。仅仅作为补充知识，安排在“你知道吗？”中进行介绍，显然是合理的。
从概念到方法or从问题到概念概念教学的核心是概念抽象，不同的教学设计往往会有不同的概念抽象路径。当前各种教材的编排，往往有以上两种方法。人教版通过“找因数→找公因数→找最大公因数”的顺序，将“因数”、“公因数”、“最大公因数”三个概念联系起来，建立起比较准确的心理表象，理解新概念。
苏教版等则通过“铺地砖”这一问题情境的创设 ,自然地引出数学问题 ,为理解公约数、最大公约数的意义提供现实素材和现实意义, 也有利于培养学生的数学抽象能力。不管是哪一种路径，只要抓住概念的本质属性，引导学生经历概念形成的过程，这样的课堂一定都会有精彩的呈现。
当最大公因数遇上数学文化
由《中国诗词大会》生发的“传统文化热”正在蔓延，它点燃了人们对诗词的热爱，发扬了源远流长而又博大精深的传统文化。其实，传统文化并不只在诗词里，还可以在数学里。如，更相减损术，原本是为约分设计的，但它适用于任何需要求最大公因数的场合（如图），“等数”即最大公因数。
其原理为：两个正整数a和b（ab），它们的最大公因数等于a-b的差值c和较小数b的最大公因数，然后计算出c和b的差值d（假设cb），把问题转化成求出b和d的最大公约数，以此类推…
而记载于《几何原本》的辗转相除法， 又名欧几里德算（Euclide algorithm）它是已知最古老的算法， 可追溯至公元前300年前。其算法基于定理：两个正整数a和b（ab），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b的最大公约数，然后计算出b除以c的余数d，转化成求c和d的最大公因数，以此类推…
如果说一一列举的方法是基于学生的认知和较小数据而采用的方法，而上述两种方法，则适用于求较大数的最大公因数。即把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，这样避免了大整数取模的性能问题
虽然二者同为化简递归，但是又有所不同。辗转相除法依靠两数求商，而更相减损术则是两数求差。前者的缺点在于若数据较大，则计算麻烦；后者若两数相差悬殊，则运算的次数较多。于是，在编程过程中，往往出现将二者的优势结合的“移位运算”，来求较大数的最大公因数。
当最大公因数遇上数学思想方法
从最大公因数的概念形成和应用来看，在教学时有以下几个关键点，包含了一些数学思想、方法，我们可以在在教学中进行渗透。
集合思想
在建立公因数和最大公因数概念时，多个版本的教材均采用韦恩图。先通过一一列举直观呈现各数的因数，然后交集中引出公因数和最大公因数的概念，使抽象的概念能够具体感知、直观显现，帮助学生进一步理解因数与公因数、最大公因数的联系与区别，发展学生的几何直观。这个过程中，涉及了用集合语言表示概念及概念间的关系、集合元素之间的对应关系。适时在教学中加以渗透，能更有利孩子集合思想的发展。
有限与无限思想
有限思想与无限思想在小学数学中往往是相互依存的。从一年级数的认识中开始，孩子们就已经体会自然数的无限多和趋向无穷大。一个数的因数、两个数的公因数都是有限的，而与之相关的倍数、公倍数的个数都是无限多个。
优化思想与推理思想
人教版教材先呈现一一列举法寻求两个数的公因数和最大公因数，实现从表象到新概念的形成。之后例2的教学可在此基础上，启发学生在理解基本原理的基础上，提炼出从一个数的因数中挑另一个数的因数的方法。而这种“写小找大”的方法，是一种筛选法思想的体现，实现列举法的优化，既为学生形成技能、 提高运算速度提供了可能，也发展了学生的优化思想。同时，在算法优化的过程中，学生经历了比较、分析、提炼、概括等数学思维过程，概念抽象程度得以提升，推理能力也得到进一步发展。
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看一看：Stein算法
Stein算法由J.Stein1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。Stein算法是一种计算两个数最大公约数的算法，是针对欧几里德算法在对大整数进行运算时，需要试商导致增加运算时间的缺陷而提出的改进算法。
和欧几里德算法算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。其算理为：gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。
特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。
你若盛开 蝴蝶自来
审核人：李丽生 蔡蹦蹦
